Question

16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c=6，sinA-sinC=sin（A-B）．若1≤a≤6，则sinC的取值范围是[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．

Answer 1

分析 由两角和与差的余弦函数公式化简已知可得cosB=$\frac{1}{2}$，利用余弦定理求得b，进而根据正弦定理求得sinC的表达式，根据a范围即可确定sinC的范围．

解答 解：∵sinA-sinC=sin（A-B）．
∴sinA=sin（A-B）+sinC=sin（A-B）+sin（A+B）=2sinAcosB，
∴由sinA≠0，可得：cosB=$\frac{1}{2}$，
∵c=6，
∴由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=a²-6a+36，
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-6a+36}$，
于是由正弦定理可得sinC=$\frac{csinB}{b}$=$\frac{6×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{a}^{2}-6a+36}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{（a-3）^{2}+27}}$，
∵1≤a≤6，$\sqrt{（a-3）^{2}+27}$∈[3$\sqrt{3}$，6]，
从而得到sinC的取值范围是：[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．
故答案为：[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．

点评 本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式，考查了余弦定理和正弦定理的综合应用，属于基本知识的考查．