题目内容

10．证明：
（1）函数f（x）=-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上是增函数；
（2）函数f（x）=x2-2x在区间（1，+∞）上是增函数．

分析 （1）根据当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）=-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上是增函数；
（2）根据x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）=x2-2x在区间（1，+∞）上是增函数．

解答 证明：（1）∵函数f（x）=-$\frac{1}{x}$，
∴函数f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，
故f（x）=-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上是增函数；
（2）∵函数f（x）=x2-2x，
∴函数f′（x）=2x-2，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，
故函数f（x）=x2-2x在区间（1，+∞）上是增函数．

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，难度不大，属于中档题．

练习册系列答案
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20．如图是一个面积为1的三角形，现进行如下操作．第一次操作：分别连结这个三角形三边的中点，构成4个三角形，挖去中间一个三角形（如图①中阴影部分所示），并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；第二次操作：连结剩余的三个三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形（如图②中阴影部分所示），同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2”；第三次操作：连结剩余的各三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；…，如此下去．记第n次操作中挖去的三角形个数为an．如a1=1，a2=3．

（1）求an；
（2）求第n次操作后，挖去的所有三角形面积之和Pn？
（3）求第n次操作后，挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和Qn．
1．把函数g（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位可以得到函数f（x）的图象，则f（$\frac{π}{6}$）=（　　）
A．-$\frac{1}{2}$B．$\frac{\sqrt{3}}{2}$C．-1D．1
18．如图，在平面直角坐标系中有三条直线l1，l2，l3，其对应的斜率分别为k1，k2，k3，则下面选项中正确的是（　　）
A．k3＞k1＞k2B．k1-k2＜0C．k2•k3＞0D．k3＞k2＞k1
5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（k，3），$\overrightarrow{b}$=（1，4），$\overrightarrow{c}$=（2，1）且（3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{c}$，则实数k=（　　）
A．-$\frac{9}{2}$B．0C．3D．$\frac{1}{2}$
15．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为$\frac{1}{2}$，直线与椭圆相交于A，B两点，当AB⊥x轴时，△ABF的周长最大值为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线过点M（-4，0），求当△ABF面积最大时直线AB的方程．
2．已知函数y=f（x）的定义域为[-1，1]，且f（-x）=-f（x），f（0）=1，当a，b∈[-1，1]且a+b≠0，时$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0恒成立．
（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性并证明结论；
（2）解不等式f（x+$\frac{1}{2}$）＜f（$\frac{1}{x-1}$）
19．函数f（x）=$\frac{1}{\sqrt{lo{g}_{2}x-1}}$的定义域为（　　）
A．（0，2）B．[2，+∞）C．（0，2]D．（2，+∞）
20．函数f（x）=x2-2lnx的单调减区间是（　　）
A．（0，1）B．（1，+∞）C．（-∞，-1）∪（0，1）D．（-1，0）∪（0，1）

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