Question

12．已知函数f（x）=e^x+$\frac{{x}^{2}}{2}$+ln（x+m）+n在点（0，f（0））处的切线方程为（e+1）x-ey+3e=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若当x≥0时，f（x）≥$\frac{{x}^{2}}{2}$+ax+3成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导函数，f′（x）=e^x+x+$\frac{1}{x+m}$，利用切线方程，列出方程组，求解m，n，即可顶点函数的解析式．
（2）利用f（x）≥$\frac{{x}^{2}}{2}$+ax+3对于?x＞0恒成立，转化e^x+ln（x+m）-ax-2≥0对于?x＞0恒成立，令F（x）=e^x+ln（x+e）-ax-2，通过函数的导数，二次导数，判断函数的单调性，求解函数的最小值，1）当a$≤1+\frac{1}{e}$时，2）当$a＞1+\frac{1}{e}$时，F'（0）＜0，方便判断求解即可．

解答 解：（1）由题意知f′（x）=e^x+x+$\frac{1}{x+m}$，$\left\{{\begin{array}{l}{f（0）=3}\\{f'（0）=\frac{e+1}{e}}\end{array}}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{1+lnm+n=3}\\{1+\frac{1}{m}=\frac{e+1}{e}}\end{array}\right.$，所以$\left\{\begin{array}{l}{m=e}\\{n=1}\end{array}\right.$．
函数f（x）=e^x+$\frac{{x}^{2}}{2}$+ln（x+e）+1；                    （4分）
（2）f（x）≥$\frac{{x}^{2}}{2}$+ax+3对于?x＞0恒成立，
即e^x+ln（x+m）-ax-2≥0对于?x＞0恒成立，
令F（x）=e^x+ln（x+e）-ax-2，F′（x）=e^x+$\frac{1}{x+e}$-a，$F''（x）={e^x}-\frac{1}{{{{（x+e）}^2}}}$，
当x＞0时e^x≥1，$\frac{1}{{{{（x+e）}^2}}}≤1$，
所以F′′（x）＞0对于?x≥0恒成立，所以F'（x）在[0，+∞）单调递增              （6分）${F'_{min}}（x）=F'（0）=1+\frac{1}{e}-a$，
1）当$1+\frac{1}{e}-a≥0$，即a$≤1+\frac{1}{e}$时，F′（x）≥0且尽在x=0时等号成立，
所以F（x）在[0，+∞）单调递增，从而F（x）≥F（0）=0，满足题意，（8分）
2）当$1+\frac{1}{e}-a＜0$即$a＞1+\frac{1}{e}$时，F'（0）＜0，
$F'（lna）={e^{lna}}+\frac{1}{e+lna}-a=\frac{1}{e+lna}＞0$且F'（x）在[0，+∞）单调递增，
所以?x₀∈（0，lna），使得F′（x）=0，（10分）
当x∈（0，x₀）时，F′（x）＜0，所以F（x）在（0，x₀）单调递减，
当x∈（x₀，+∞）时，F'（x）＞0，所以F（x）在（x₀，+∞）单调递增，
因此，当x∈（0，x₀）时，F（x）＜F（0）=0，不合题意．
综上所述：$a≤1+\frac{1}{e}$（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的解析式以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．