Question

7．设x，y满足约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{3x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}}\right.$．
（1）求x+2y最大值；
（2）若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为4，求$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{3b}$的最小值；
（3）若目标函数z=kx+y最小值的最优解有无数个，求值k．

Answer 1

分析 画出约束条件的可行域，（1）利用x+2y的几何意义，求出最大值即可；
（2）利用目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为4，得到ab的关系式，利用基本不等式求解最值即可．
（3）利用目标函数z=kx+y最小值的最优解有无数个，通过几何意义，利用数形结合求解即可．

解答 解：x，y满足约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{3x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}}\right.$的可行域为：
（1）令z=x+2y，当直线经过，可行域的C点时，
x+2y取得最大值，由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，
解得C（4，6），
可得x+2y取最大值16；
（2）目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为4，可知，z=ax+by经过C时，取得最大值，可得$4a+6b=4⇒a+\frac{3}{2}b=1$
$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{3b}$=$（\frac{1}{a}+\frac{2}{3b}）（a+\frac{3}{2}b）=2+\frac{3b}{2a}+\frac{2a}{3b}≥4$；
当且仅当2a=3b=1时取得最小值4．
（3）由z=kx+y得y=-kx+z，
若k=0，则y=z，此时目标函数取得最小值的解只有无数个，满足条件．
若k＞0，若目标函数z=kx+y的取得最小值的最优解有无数个，不满足题意，
若k＜0，若目标函数z=kx+y的取得最小值的最优解有无数个，
则目标函数对应的直线与AC：3x+y-6=0平行，
此时k=-3，
综上k=0或-3．
故答案为：k=0或-3

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及目标函数的几何意义是解决本题的关键．