Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．

(1)证明：EF∥平面PAD；

(2)求三棱锥E－ABC的体积V.

Answer 1

解：(1)证明：在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，

∴EF∥BC.

∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，

∴EF∥AD.

又∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，

∴EF∥平面PAD.

(2)连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，

则EG⊥平面ABCD，且EG＝PA.

在△PAB中，

AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，

∴AP＝AB＝，EG＝.

∴S_△ABC＝AB·BC＝××2＝，

∴V_E－ABC＝S_△ABC·EG＝××＝.