Question

某工厂需要生产x个零件（50≤x≤150，x∈N^*），经市场调查得知，生产成本包括以下三个方面：①生产1个零件需要原料费50元；②支付职工的工资由6000元的基本工资和每生产1个零件补贴20元组成；③所生产零件的保养总费用是（x²-30x+400）元．
（1）把生产每个零件的平均成本P（x）表示为x的函数关系式，并求P（x）的最小值；
（2）假设生产的零件可以全部卖出，据测算，销售收入Q（x）关于产量x的函数关系式为Q（x）=1240x-

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x³，那么当产量为多少时生产这批零件的利润最大？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由题意P（x）=

50x+6000+20x+x2-30x+400

x

=x+

6400

x

+40，（50≤x≤150，x∈N^*）；从而利用基本不等式求最值；
（2）设利润为y元，则y=Q（x）-P（x）•x=-

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x³-x²+1200x-6400；求导y′=-

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x²-2x+1200=-

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（x-100）（x+120）；从而确定最大值点．

解答： 解：（1）P（x）=

50x+6000+20x+x2-30x+400

x

=x+

6400

x

+40，（50≤x≤150，x∈N^*）；
则x+

6400

x

+40≥2×80+40=200；
（当且仅当x=

6400

x

，即x=80时，等号成立）；
故P（x）的最小值为200元；
（2）由题意，设利润为y元，
则y=Q（x）-P（x）•x
=1240x-

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x³-（x²+40x+6400）
=-

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x³-x²+1200x-6400；
y′=-

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x²-2x+1200
=-

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（x-100）（x+120）；
故y=-

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x³-x²+1200x-6400在（50，100）上是增函数，
在（100，150）上是减函数；
故当产量为100个零件时生产这批零件的利润最大．

点评：本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了基本不等式与导数的综合应用，属于中档题．