Question

5．已知平面向量$\overrightarrow{O{P}_{1}}$、$\overrightarrow{O{P}_{2}}$、$\overrightarrow{O{P}_{3}}$满足条件$\overrightarrow{O{P}_{1}}$+$\overrightarrow{O{P}_{2}}$+$\overrightarrow{O{P}_{3}}$=$\overrightarrow{0}$，|$\overrightarrow{O{P}_{1}}$|=|$\overrightarrow{O{P}_{2}}$|=|$\overrightarrow{O{P}_{3}}$|=1．
（1）求证：△P₁P₂P₃是正三角形；
（2）试判断直线OP₁与直线P₂P₃的位置关系，并证明你的判断．

Answer 1

分析 （1）（法一）根据向量的运算法则计算出|$\overrightarrow{{{P}_{1}P}_{2}}$|=|$\overrightarrow{{{P}_{1}P}_{3}}$|=|$\overrightarrow{{{P}_{2}P}_{3}}$|，从而判断三角形的形状；
（法二）设出坐标，根据坐标运算得到P₁P₂=P₁P₃=P₂P₃，判断三角形的形状；
（2）根据向量乘积是0，得到向量垂直即可．

解答 证明：（1）（法一）∵$\overrightarrow{O{P}_{1}}$+$\overrightarrow{O{P}_{2}}$+$\overrightarrow{O{P}_{3}}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{O{P}_{1}}$+$\overrightarrow{O{P}_{2}}$=-$\overrightarrow{O{P}_{3}}$，
∴${（\overrightarrow{{OP}_{1}}+\overrightarrow{{OP}_{2}}）}^{2}$=${\overrightarrow{{OP}_{3}}}^{2}$，
∴${\overrightarrow{{OP}_{1}}}^{2}$+2$\overrightarrow{{OP}_{1}}$•$\overrightarrow{{OP}_{2}}$+${\overrightarrow{{OP}_{2}}}^{2}$=${\overrightarrow{{OP}_{3}}}^{2}$，
∵|$\overrightarrow{O{P}_{1}}$|=|$\overrightarrow{O{P}_{2}}$|=|$\overrightarrow{O{P}_{3}}$|=1，∴${\overrightarrow{{OP}_{1}}}^{2}$=${\overrightarrow{{OP}_{2}}}^{2}$=${\overrightarrow{{OP}_{3}}}^{2}$=1，
∴$\overrightarrow{{OP}_{1}}$•$\overrightarrow{{OP}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
${|\overrightarrow{{{P}_{1}P}_{2}}|}^{2}$=|$\overrightarrow{{OP}_{2}}$-$\overrightarrow{{OP}_{1}}$|²=${\overrightarrow{{OP}_{2}}}^{2}$-2$\overrightarrow{{OP}_{1}}$•$\overrightarrow{{OP}_{2}}$+${\overrightarrow{{OP}_{1}}}^{2}$=3，
∴|$\overrightarrow{{{P}_{1}P}_{2}}$|=$\sqrt{3}$，同理|$\overrightarrow{{{P}_{1}P}_{3}}$|=|$\overrightarrow{{{P}_{2}P}_{3}}$|=$\sqrt{3}$，
∴△P₁P₂P₃是正三角形；
（方法二）设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），
∵|$\overrightarrow{{OP}_{1}}$|=|$\overrightarrow{{OP}_{2}}$|=|$\overrightarrow{{OP}_{3}}$|=1，∴$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}{{+y}_{1}}^{2}=1}\\{{{x}_{2}}^{2}{{+y}_{2}}^{2}=1}\\{{{x}_{3}}^{2}{{+y}_{3}}^{2}=1}\end{array}\right.$，
∵$\overrightarrow{O{P}_{1}}$+$\overrightarrow{O{P}_{2}}$+$\overrightarrow{O{P}_{3}}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{+x}_{2}{+x}_{3}=0}\\{{y}_{1}{+y}_{2}{+y}_{3}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{+x}_{2}={-x}_{3}}\\{{y}_{1}{+y}_{2}={-y}_{3}}\end{array}\right.$，
∴${{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}$+${{（y}_{1}{+y}_{2}）}^{2}$=${{x}_{3}}^{2}$+${{y}_{3}}^{2}$，
∴2x₁ x₂+2y₁ y₂=-1，
∴p₁p₂=$\sqrt{{{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}{+{（y}_{1}{-y}_{2}）}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
P₁P₃=P₂P₃=$\sqrt{3}$，∴P₁P₂=P₁P₃=P₂P₃，
∴△P₁P₂P₃是正三角形；
（2）OP₁⊥P₂P₃，
证明：∵$\overrightarrow{O{P}_{1}}$+$\overrightarrow{O{P}_{2}}$+$\overrightarrow{O{P}_{3}}$=$\overrightarrow{0}$，∴$\overrightarrow{O{P}_{1}}$=-$\overrightarrow{O{P}_{2}}$-$\overrightarrow{O{P}_{3}}$，
∴$\overrightarrow{{OP}_{1}}$•$\overrightarrow{{{P}_{2}P}_{3}}$=$\overrightarrow{{OP}_{1}}$（$\overrightarrow{{OP}_{3}}$-$\overrightarrow{{OP}_{2}}$）
=（-$\overrightarrow{{OP}_{2}}$-$\overrightarrow{{OP}_{3}}$）（$\overrightarrow{{OP}_{3}}$-$\overrightarrow{{OP}_{2}}$）
=${\overrightarrow{{OP}_{2}}}^{2}$-${\overrightarrow{{OP}_{3}}}^{2}$，
∵|$\overrightarrow{O{P}_{1}}$|=|$\overrightarrow{O{P}_{2}}$|=|$\overrightarrow{O{P}_{3}}$|=1，${\overrightarrow{{OP}_{2}}}^{2}$=${\overrightarrow{{OP}_{3}}}^{2}$，
∴$\overrightarrow{{OP}_{1}}$•$\overrightarrow{{{P}_{2}P}_{3}}$=0，OP₁⊥P₂P₃．

点评 本题考查了向量的运算，向量垂直问题，考查向量的模以及两点间的距离，是一道中档题．