Question

4．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，$DC+C{C_1}=8，CB=4，\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$，点N是平面A₁B₁C₁D₁上的点，且满足${C_1}N=\sqrt{5}$，当长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积最大时，线段MN的最小值是（　　）

• A． $6\sqrt{2}$
• B． 8
• C． $\sqrt{21}$
• D． $4\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意，当长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积最大时，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁为棱长为4的正方体．N的轨迹是平面A₁B₁C₁D₁中，以C₁为圆心，$\sqrt{5}$为半径的圆的$\frac{1}{4}$，设M在平面A₁B₁C₁D₁中的射影为O，则O为A₁B₁的中点，ON的最小值，即可得出结论．

解答 解：由题意，当长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积最大时，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁为棱长为4的正方体．
N的轨迹是平面A₁B₁C₁D₁中，以C₁为圆心，$\sqrt{5}$为半径的圆的$\frac{1}{4}$，
设M在平面A₁B₁C₁D₁中的射影为O，则O为A₁B₁的中点，ON的最小值为$\sqrt{5}$，
∴线段MN的最小值是$\sqrt{16+5}$=$\sqrt{21}$，
故选C．

点评 本题考查长方体的结构特征，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．