Question

18．已知直线ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-2y+1=0截得的弦长为2，则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值为（　　）

• A． 3
• B． $\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$
• C． 2+$\sqrt{2}$
• D． 3+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先求出圆心和半径，由直线ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-2y+1=0截得的弦长为2，可得直线ax-by+2=0经过圆心，可得a+b=2，代入式子再利用基本不等式可求式子的最小值．

解答 解：圆x²+y²+2x-2y+1=0 即 （x+1）²+（y-1）²=1，圆心为（-1，1），半径为1，
∵直线ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-2y+1=0截得的弦长为2，
∴直线ax-by+2=0经过圆心，∴-a-b+2=0，a+b=2，
则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）=$\frac{1}{2}$（3+$\frac{b}{a}$+$\frac{2a}{b}$）≥$\frac{3}{2}+\sqrt{2}$，当且仅当$\sqrt{2}$a=b时等号成立，
故$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值为$\frac{3}{2}+\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，弦长公式以及基本不等式的应用．