Question

12．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=1，2S_n=（n+1）a_n，若存在唯一的正整数n使得不等式a_n²-ta_n-2≤0成立，则实数t的取值范围为[-1，1）．

Answer 1

分析 由a₁=1，2S_n=（n+1）a_n，n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n-1），$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$，=…=$\frac{{a}_{2}}{2}$=$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，求的数列{a_n}的通项公式，分离变量根据n的取值即可求得t的取值范围．

解答 解：∵a₁=1，2S_n=（n+1）a_n，
∴n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n-1）=（n+1）a_n-na_n-1，化为：$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$，=…=$\frac{{a}_{2}}{2}$=$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，
∴a_n=n．
不等式a_n²-ta_n-2≤0化为：存在唯一的正整数n使得不等式：n²-tn-2≤0，
设f（n）=n²-tn-2，由于f（0）=-2t²，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1-t-2≤0}\\{f（2）=4-2t-2＞0}\end{array}\right.$，解得：-1≤t＜1，
∴实数t的取值范围为[-1，1），
故答案为：[-1，1）．

点评 本题考查了数列的递推关系、不等式的性质、简易逻辑的判定方法，运用参数分离法是解题的关键，属于中档题．