Question

7．已知二项式（2x+$\frac{1}{x}$）ⁿ的展开式中第3项系数与第4项系数相等，求含$\frac{1}{{x}^{2}}$的项．

Answer 1

分析 T_r+1=${∁}_{n}^{r}$（2x）^n-r$（\frac{1}{x}）^{r}$=2^n-r${∁}_{n}^{r}$•x^n-2r．（n≥3）．根据第3项系数与第4项系数相等，可得2^n-2${∁}_{n}^{2}$=2^n-3${∁}_{n}^{3}$，解出n，再利用通项公式即可得出．

解答 解：T_r+1=${∁}_{n}^{r}$（2x）^n-r$（\frac{1}{x}）^{r}$=2^n-r${∁}_{n}^{r}$•x^n-2r．（n≥3）．
∵第3项系数与第4项系数相等，
∴2^n-2${∁}_{n}^{2}$=2^n-3${∁}_{n}^{3}$，
∴2×$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{n（n-1）（n-2）}{6}$，
化为：n-2=6，解得n=8．
∴T_r+1=2^8-r${∁}_{8}^{r}$x^8-2r，
令8-2r=-2，解得r=5．
∴T₆=8${∁}_{8}^{5}$x^-2=448×$\frac{1}{{x}^{2}}$．
∴含$\frac{1}{{x}^{2}}$的项为第六项，为$\frac{448}{{x}^{2}}$．

点评 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．