Question

15．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥侧面BB₁C₁C，AB=BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）求点B到平面AB₁C₁的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件推导出AB⊥BC₁，BC⊥BC₁，由此能证明C₁B⊥平面ABC．
（Ⅱ）利用等体积方法求点B到平面AB₁C₁的距离．

解答 （Ⅰ）证明：AB⊥侧面BB₁C₁C，BC₁?侧面BB₁C₁C，∴AB⊥BC₁，
在△BCC₁中，BC=1，CC₁=BB₁=2，∠BCC₁=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理得：BC12=BC²+CC12-2BC•CC₁•cos∠BCC₁
=1²+2²-2×1×2×cos $\frac{π}{3}$=3，
∴BC₁=$\sqrt{3}$，…3 分
∴BC²+BC₁²=CC₁²，∴BC⊥BC₁，
∵BC∩AB=B，∴C₁B⊥平面ABC．…（5分）
（Ⅱ）解：${V}_{A-{B}_{1}B{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×B{C}_{1}×{B}_{1}{C}_{1}×AB$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
又AB₁=$\sqrt{A{B}^{2}+B{{B}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AC₁=$\sqrt{A{B}^{2}+B{{C}_{1}}^{2}}$=2，B₁C₁=1
∴${S}_{△A{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2×1$=1．
设点B到平面AB₁C₁的距离为h
∴$\frac{1}{3}×1×h=\frac{\sqrt{3}}{6}$，∴h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
所以点B到平面AB₁C₁的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，正确运用等体积转化是关键．