Question

5．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$\sqrt{3}bcosC=csinB$；
（1）求角C；
（2）若$c=\sqrt{3}$，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知等式可得：$\sqrt{3}$sinBcosC=sinCsinB，结合sinB≠0，可得：tanC=$\sqrt{3}$，结合范围C∈（0，π），即可得解C的值．
（2）利用正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2$，利用三角函数恒等变换的应用化简可得：三角形的周长l=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，根据A的范围，和正弦函数的图象和性质即可解得△ABC周长的取值范围．

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}bcosC=csinB$，
∴利用正弦定理可得：$\sqrt{3}$sinBcosC=sinCsinB，
∵B为三角形内角，sinB≠0，
∴可得：tanC=$\sqrt{3}$，
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵由（1）及题意可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2$，
∴三角形的周长l=a+b+c=2sinA+2sinB+$\sqrt{3}$=2sinA+2sin（$\frac{2π}{3}$-A）+$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，
∵A∈（0，$\frac{2π}{3}$），A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，l=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$∈（2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$]．
故△ABC周长的取值范围为（2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．