Question

已知函数（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线在点处的切线与x轴平行．

(1)求k的值及的单调区间;

(2)设其中为的导函数,证明:对任意,.

 

Answer 1

（1）,的单调增区间是，单调递减区间是;（2）祥见解析.

【解析】

试题分析：（1）求出函数的导函数，函数在点（1，）处的切线与x轴平行，说明，则k值可求；再求的单调区间,首先应求出函数的定义域，然后让导函数等于0求出极值点，借助于导函数在各区间内的符号求函数的单调区间．（2），分别研究，的单调性，可得函数的范围，即可证明结论.

试题解析：（1）由，得.

因为曲线在处的切线与轴平行，

所以，因此.

所以，

当时，，，；当时，，，.

所以的单调增区间是，单调递减区间是.

（2）证明：因为，所以.

因此，对任意，等价于.

令，则.

因此，当时，，单调递增；当时，，单调递减.

所以的最大值为，故.

设.因为，所以当时，，单调递增，，故当时，，即.

所以.因此对任意，.

考点：1.导数的几何意义;2.函数的单调性;3函数的最值.