Question

一只蚂蚁从长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点A出发，沿着长方体的表面到达顶点C₁的最短距离为6，则长方体体积的最大值为（　　）

• A、24
• B、6

  3

• C、12

  3

• D、9

  6

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：利用沿着长方体的表面到达顶点C₁的最短距离为6，建立函数关系，即可长方体体积的最大值．

解答： 解：由题意，设a＞b，c时最短距离为

a2+b2+c2+2bc

=6，
∴36-a²≥4bc，
∴V=abc≤

36a-a3

4

，
设f（a）=

36a-a3

4

（a＞0），则f′（a）=9-

3

4

a²，
∴f（a）在x=2

3

处取最大值，
∴体积的最大值为12

3

．
故选：C．

点评：本题考查了点、线、面之间的距离，考查了学生的空间想象能力和思维能力，考查了数学转化思想方法，解答的关键是得出V=abc≤

36a-a3

4

，是中档题．