Question

16．函数y=sin（$\frac{3π}{2}$+x）cos（$\frac{π}{6}$-x）的最大值为$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 利用诱导公式和积化和差公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的值域求得函数的最大值．

解答 解：y=sin（$\frac{3π}{2}$+x）cos（$\frac{π}{6}$-x）=-cosxcos（$\frac{π}{6}$-x）
=-cosx$（\frac{\sqrt{3}}{2}cosx+\frac{1}{2}sinx）$=$-（\frac{\sqrt{3}}{2}co{s}^{2}x+\frac{1}{2}sinxcosx）$
=$-（\frac{\sqrt{3}}{4}cos2x+\frac{1}{4}sin2x+\frac{\sqrt{3}}{4}）$
=$-\frac{1}{2}sin（\frac{π}{3}+2x）-\frac{\sqrt{3}}{4}$≤$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}$，
当2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z时，即x=kπ+$\frac{7π}{12}$，k∈Z时，取得最大值$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了三角函数的最值，利用诱导公式和积化和差公式的化简求值，熟练掌握三角函数基础公式是解题的关键，是中档题．