Question

14．在△ABC中，有关系：1+cos²A+sinB•sinC=cos²B+cos²C，则角A的大小为$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系，求得 sin²B+sin²C-sin²A=-sinB•sinC，再正弦定理和余弦定理，求得cosA的值，可得A的值．

解答 解：△ABC中，∵1+cos²A+sinB•sinC=cos²B+cos²C，
∴1+1-sin²A+sinB•sinC=1-sin²B+1-sin²C，
即 sin²B+sin²C-sin²A=-sinB•sinC．
再利用正弦定理可得b²+c²-a²=-bc，
利用余弦定理求得cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{2π}{3}$，
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．