Question

2．设函数f（x）=（1+x）²-2ln（x+1）．
（1）如果关于的x不等式f（x）-m≥0在[0，e-1]上有实数解，求实数m的取值范围；
（2）设g（x）=f（x）-x²-1，若关于x的方程g（x）=p至少有一个实数解，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导，由题意可知：函数y=f（x）在[0，e-1]上是递增的，则原不等式等价于f（x）_max≥m在[0，e-1]上成立，即可求得实数m的取值范围；
（2）求导，令g'（x）=0，求得函数的单调性，则g（x）_min=g（0）=0，由题意可知p≥0，即可求得实数p的取值范围．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{2x（x+2）}{x+1}≥0$在[0，e-1]上恒成立，
∴函数y=f（x）在[0，e-1]上是递增的，此时，$f{（x）_{max}}=f（e-1）={e^2}-2$，
关于的x不等式f（x）-m≥0在[0，e-1]上有实数解，等价于f（x）_max≥m在[0，e-1]上成立，
∴m≤e²-2．　　（6分）
（2）g（x）=2x-2ln（x+1），求导，$g'（x）=\frac{2x}{x+1}（x＞-1）$
令g'（x）=0，得x=0，易知y=g（x）在（-1，0）上是递减的，在（0，+∞）上是递增的，
∴g（x）_min=g（0）=0，
∴关于x的方程g（x）=p至少有一个实数解，则p的取值范围为：p≥0，
实数p的取值范围[0，+∞）．　　　　　　　　（12分）

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查导数与不等式的综合应用，考查转化思想，属于中档题．