Question

3．已知椭圆C与双曲线$\frac{{x}^{2}}{7}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1有公共焦点，且离心率e=$\frac{3}{5}$，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点P是椭圆C上的一动点，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在椭圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？

Answer 1

分析 （1）由题意，c=3，a=5，b=4，即可求椭圆的标准方程；
（2）确定P、M坐标之间的关系，利用点P在椭圆上，即可求得线段PD中点M的轨迹E的方程；

解答 解：（1）由题意，c=3，a=5，∴b=4，
∴椭圆的标准方程$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1；
（2）设PD中点M（x，y），P（x′，y′），依题意x=x′，y=$\frac{y′}{2}$
∴x′=x，y′=2y
又点P在$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1上，∴$\frac{x{′}^{2}}{25}+\frac{y{′}^{2}}{4}$=1，即$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
∴线段PD的中点M轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查学生的计算能力，正确运用代入法是关键，属于中档题．