Question

已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0（m∈R）．
（1）试判断直线l与圆C的位置关系；
（2）设直线l与圆C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB的长．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）判断直线过定点A（1，1），利用点与圆的位置关系即可判断直线l与圆C的位置关系；
（2）根据直线l的倾斜角为120°，求出直线的斜率以及直线的方程，利用弦长公式即可求弦AB的长．

解答： 解：（1）由mx-y+1-m=0得m（x-1）-y+1=0，则直线过定点A（1，1），
圆心坐标为C（0，1），半径R=

5

，
则AC=1＜

5

，
∴点A在圆内，即直线l与圆C相交；
（2）若直线l的倾斜角为120°，
则直线的斜率k=tan120°=-

3

，
即m=-

3

，
∴直线l的方程为-

3

x-y+1+

3

=0，
圆心到直线的距离d=

|0-1+1+ 3 |

(- 3 )2+(-1)2

=

3

4

=

3

2

，
则弦AB=2

R2-d2

=2

5-( 3 2 )2

=2

11 4

=

11

．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的判断和应用，根据弦长公式计算弦长是解决本题的关键．