Question

9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＞c．若cosB=$\frac{1}{3}$，ac=6，b=3．
（Ⅰ）求a和cosC的值；     
（Ⅱ）求cos（2C+$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用余弦定理，解方程组求得cosC的值．
（Ⅱ）利用同角三角函数的基本关系求得sinC的值，利用二倍角公式、两角和差的三角公式求得cos（2C+$\frac{π}{3}$）的值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，∵cosB=$\frac{1}{3}$，ac=6，b=3，a＞c，
∴由余弦定理得，9=a²+c²-2•6•$\frac{1}{3}$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{7}{9}$．   
（Ⅱ）由（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系可得sinC=$\sqrt{{1-cos}^{2}C}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
∴sin2C=2sinCcosC=2•$\frac{4\sqrt{2}}{9}$•$\frac{7}{9}$=$\frac{56\sqrt{2}}{81}$．
∴cos2C=2cos²C-1=$\frac{17}{81}$．
∴cos（2C+$\frac{π}{3}$）=cos2Ccos$\frac{π}{3}$-sin2Csin$\frac{π}{3}$=$\frac{17-56\sqrt{6}}{162}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和差的三角公式的应用，属于基础题．