题目内容

若数列{an}满足对任意的n有：Sn=，试问该数列是怎样的数列？并证明你的结论．
【答案】分析：先根据Sn=可得到an+1=Sn+1-Sn、an=Sn-Sn-1（n≥2），然后二式相减并代入关系式Sn=可得到2（an+1-an）=（n+1）an+1+（n-1）an-1-2nan（n≥2）整理可得到2an=an+1+an-1（n≥2），最后根据等差数列的性质可得证．
解答：解：an+1=Sn+1-Sn①
an=Sn-Sn-1（n≥2）②
①-②得
an+1-an=Sn+1+Sn-1-2Sn
=+-n（a1+an）
=[（n+1）an+1+（n-1）an-1-2nan]
可得2（an+1-an）=（n+1）an+1+（n-1）an-1-2nan（n≥2）
整理可得2（n-1）an=（n-1）an+1+（n-1）an-1（n≥2）
即2an=an+1+an-1（n≥2）
根据等差数列的特性可知：此数列为等差数列
点评：本题主要考查等差数列的证明，考查等差数列的性质，属基础题．
练习册系列答案
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若数列{an}满足对任意的n有：Sn=
n(a1+an)2
，试问该数列是怎样的数列？并证明你的结论．
（2009•黄浦区二模）若数列{an}满足an+2+pan+1+qan=0（其中p2+q2≠0，且p、q为常数）对任意n∈N*都成立，则我们把数列{an}称为“L型数列”．
（1）试问等差数列{an}、等比数列{bn}（公比为r）是否为L型数列？若是，写出对应p、q的值；若不是，说明理由．
（2）已知L型数列{an}满足a1=1，a2=3，an+1-4an+4an-1=0（n≥2，n∈N*），证明：数列{an+1-2an}是等比数列，并进一步求出{an}的通项公式an．

若数列{an}满足对一切n∈N*，an∈(0，1)，且，Sn是数列{an}的前n项的和，求证：(1)；(2)Sn＜2a1．
若数列{an}满足对任意的n有：Sn=
n(a1+an)
2
，试问该数列是怎样的数列？并证明你的结论．

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