Question

11．已知，在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且asinB=$\sqrt{3}$bcosA．
（1）求角A的大小；
（2）设△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理，化简整理得sinAsinB=$\sqrt{3}$sinBcosA，结合sinB≠0解出tanA=$\sqrt{3}$，从而可得A的值．
（2）由三角形的面积公式，从而解出bc=4，再结合基本不等式求最值，即可得到a的取值范围．

解答 解：（1）∵asinB=$\sqrt{3}$bcosA．
∴由正弦定理可得：sinAsinB=$\sqrt{3}$sinBcosA，
又∵sinB≠0，
∴可得：tanA=$\sqrt{3}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵A=$\frac{π}{3}$，△ABC的面积为$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc，
∴解得：bc=4，
∴由余弦定理可得：a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-bc}$≥$\sqrt{2bc-bc}$=$\sqrt{bc}$=2，当且仅当b=c=2时等号成立．
综上，边a的取值范围为[2，+∞）．

点评 本题给出三角形的边角关系，求角A的大小，并在已知面积的情况下求边a的取值范围．着重考查了利用正余弦定理解三角形、三角形的面积公式和三角恒等变换等知识，属于中档题．