Question

13．已知A-BCD为正四面体，则其侧面与底面所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 由已知中正四面体的所有面都是等边三角形，取CD的中点E，连接AE，BE，由等腰三角形“三线合一”的性质，易得∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角，解三角形ABE即可得到正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值．

解答 解：不妨设正四面体为A-BCD，
取CD的中点E，连接AE，BE，
设四面体的棱长为2，则AE=BE=$\sqrt{3}$
且AE⊥CD，BE⊥CD，
则∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角．
在△ABE中，cos∠AEB=$\frac{A{E}^{2}+B{E}^{2}-A{B}^{2}}{2AE•BE}=\frac{1}{3}$，
故正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值是$\frac{1}{3}$．
故选A．

点评 本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中确定∠AEB即为相邻两侧面所成二面角的平面角，是解答本题的关键．