Question

17．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：ax+y+3=0，点A（0，1），若直线l上存在点M，满足|MA|=2，则实数a的取值范围是a≤-$\sqrt{3}$或a≥$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求出M的轨迹，转化为直线与圆有交点，利用圆心到直线的距离小于等于半径，建立不等式，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：设M（x，y），则
∵点A（0，1），满足|MA|=2，
∴M的轨迹方程为x²+（y-1）²=4，圆心为（0，1），半径为2．
∵直线l：ax+y+3=0，点A（0，1），直线l上存在点M，满足|MA|=2，
∴直线与圆有交点，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{4}{\sqrt{{a}^{2}+1}}≤2$，
∴a≤-$\sqrt{3}$或a≥$\sqrt{3}$．
故答案为：a≤-$\sqrt{3}$或a≥$\sqrt{3}$．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查直线与圆的位置关系．是中档题，