Question

13．设x，m，n，y成等差数列，x，p，q，y成等比数列，则$\frac{{{{（{m+n}）}^2}}}{pq}$的取值范围是（-∞，0]∪[4，+∞）．

Answer 1

分析 由已知得m+n=x+y，pq=xy，从而$\frac{{{{（{m+n}）}^2}}}{pq}$=$\frac{（x+y）^{2}}{xy}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}+2$，由此能求出$\frac{{{{（{m+n}）}^2}}}{pq}$的取值范围．

解答 解：∵设x，m，n，y成等差数列，x，p，q，y成等比数列，
∴m+n=x+y，pq=xy，
∴$\frac{{{{（{m+n}）}^2}}}{pq}$=$\frac{（x+y）^{2}}{xy}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}+2$，
∴当xy＞0时，$\frac{{{{（{m+n}）}^2}}}{pq}$=$\frac{（x+y）^{2}}{xy}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}+2$≥2+2=4，
当xy＜0时，$\frac{{{{（{m+n}）}^2}}}{pq}$=$\frac{（x+y）^{2}}{xy}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}+2$≤-2+2=0．
∴$\frac{{{{（{m+n}）}^2}}}{pq}$的取值范围是（-∞，0]∪[4，+∞）．
故答案为：（-∞，0]∪[4，+∞）．

点评 本题考查代数式的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列、等差数列的性质的合理运用．