Question

6．已知函数f（x）=sinxcos（x+$\frac{π}{6}$）+1．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边f（C）=$\frac{5}{4}$，b=4，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=12，求c．

Answer 1

分析 （1）使用和角公式展开再利用二倍角公式与和角的正弦公式化简f（x），利用正弦函数的单调性列出不等式解出；
（2）根据f（C）=$\frac{5}{4}$求出C，根据，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=12解出a，使用余弦定理解出c．

解答 解：（1）f（x）=sinx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$sinx）+1=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x-$\frac{1-cos2x}{4}$+1=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{4}$．
令$\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}+2kπ$，解得$\frac{π}{6}+kπ$≤x≤$\frac{2π}{3}+kπ$．
∴函数f（x）的单调递减区间是[$\frac{π}{6}+kπ$，$\frac{2π}{3}+kπ$]，k∈Z．
（2）∵f（C）=$\frac{1}{2}$sin（2C+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{4}$=$\frac{5}{4}$，∴sin（2C+$\frac{π}{6}$）=1，∴C=$\frac{π}{6}$．
∵$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=abcosC=2$\sqrt{3}$a=12，∴a=2$\sqrt{3}$．
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=12+16-24=4．
∴c=2．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，解三角形，属于中档题．