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若数列{a
n
}的首项为23，公差为整数的等差数列且前6项为正，从第7项开始为负，则此数列的公差d为
A.
-1
B.
-2
C.
-3
D.
-4
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D
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对于数列{a
n
}，定义{△a
n
}为数列{a
n
}的一等差数列，其中△a
n
=a
n+1
-a
n
（n∈N
*
），
（1）若数列{a
n
}通项公式
a
n
=
5
2
n
2
-
13
2
n(n∈
N
*
)
，求{△a
n
}的通项公式；
（2）若数列{a
n
}的首项是1，且满足△a
n
-a
n
=2
n
，①证明：数列
{
a
n
2
n
}
为等差数列；②求{a
n
}的前n项和S
n
．
对于数列{a
n
}，规定{△a
n
}为数列{a
n
}的一阶差分数列，其中△a
n
=a
n+1
-a
n
（n∈N*）；类似的，规定{△
2
a
n
}为数列{a
n
}的二阶差分数列，其中△
2
a
n
=△a
n+1
-△a
n
（n∈N*）．
（Ⅰ）已知数列{a
n
}的通项公式a
n
=3n
2
-5n（n∈N*），试证明{△a
n
}是等差数列；
（Ⅱ）若数列{a
n
}的首项a
1
=1，且满足△
2
a
n
-△a
n+1
+a
n
=-2
n
（n∈N*），令b
n
=
an
2n
，求数列{b
n
}的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记c
n
=
a1(n=1)
2n-1
△an
(n≥2，n∈N*
，求证：c
1
+
c2
2
+…+
cn
n
＜
17
12
．
已知函数f（x）=
1
x
2
-4
（x＜-2）．
（1）求函数f（x）的反函数f
-1
（x）；
（2）若数列{a
n
}的首项a
1
=1，
1
a
n+1
=-f
-1
（a
n
）（n∈N
*
），求数列{a
n
}的通项公式；
（3）设b
n
=
a
n
a
n+1
a
n
+
a
n+1
，若b
1
+b
2
+…+b
n
=2，求n的值．
（2011•东城区模拟）对数列{a
n
}，规定{△a
n
}为数列{a
n
}的一阶差分数列，其中△a
n
=a
n+1
-a
n
（n∈N
*
）．对正整数k，规定 {△
k
a
n
}为{a
n
}的k阶差分数列，其中△
k
a
n
=△
k-1
a
n+1
-△
k-1
a
n
=△（△
k-1
a
n
）．
（Ⅰ）若数列{a
n
}的首项a
1
=1，且满足△
2
a
n
-△a
n+1
+a
n
=-2
n
，求数列{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的数列{a
n
}，若数列{b
n
}是等差数列，使得b
1
C
n
1
+b
2
C
n
2
+b
3
C
n
3
+…+b
n-1
C
n
n-1
+b
n
C
n
n
=a
n
对一切正整数n∈N
*
都成立，求b
n
；
（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，令c
n
=（2n-1）b
n
，设
T
n
=
c
1
a
1
+
c
2
a
2
+
c
3
a
3
+…+
c
n
a
n
，若T
n
＜m成立，求最小正整数m的值．
对数列{a
n
}，规定{Va
n
}为数列{a
n
}的一阶差分数列，其中Va
n
=a
n+1
-a
n
（n∈N
*
）．对正整数k，规定{V
k
a
n
}为{a
n
}的k阶差分数列，其中V
k
a
n
=V
k-1
a
n+1
-V
k-1
a
n
=V（V
K-1
a
n
）（规定V
0
a
n
=a
n
）．
（Ⅰ）已知数列{a
n
}的通项公式a
n
=n
2
+n（n∈N
*
），是判断{Va
n
}是否为等差数列，并说明理由；
（Ⅱ）若数列{a
n
}的首项a
1
=1，且满足V
2
a
n
-Va
n+1
+a
n
=-2
n
（n∈N
*
），求数列{a
n
}的通项公式．
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