Question

4．已知定义域为R的函f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x}+1}$是奇函敷．
（1）求a的值；
（2）判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）设m为常数，且m＞0，若对任意的t∈[1，2]，不等式f（-m+2t）+f（-mt²+1）≥0恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）是R上的奇函数，得f（0）=0，代入f（x）可得a的值；
（2）由f（x）的解析式，判断出f（x）是定义域上的减函数；
（3）问题转化为m≥$\frac{2t+1}{{t}^{2}+1}$在t∈[1，2]恒成立；令h（t）=$\frac{2t+1}{{t}^{2}+1}$，t∈[1，2]，根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）=$\frac{{-2}^{0}+a}{{2}^{0}+1}$=0，解得：a=1；
（2）由（1）得：f（x）=$\frac{1{-2}^{x}}{1{+2}^{x}}$=-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
显然$\frac{2}{{2}^{x}+1}$随着x的增大而减小，
故f（x）在R单调递减；
（3）∵f（-m+2t）+f（-mt²+1）≥0恒成立，m＞0，t∈[1，2]，
∴f（-mt²+1）≥-f（-m+2t）；
∵f（x）是奇函数，∴-f（-m+2t）=f（m-2t），
∴f（-mt²+1）≥f（m-2t），
又∵f（x）是减函数，∴-mt²+1≤m-2t，
即mt²-2t+m-1≥0恒成立，m＞0，t∈[1，2]，
∴m≥$\frac{2t+1}{{t}^{2}+1}$在t∈[1，2]恒成立；
令h（t）=$\frac{2t+1}{{t}^{2}+1}$，t∈[1，2]，
∴h′（t）=$\frac{-{2t}^{2}-2t+2}{{{（t}^{2}+1）}^{2}}$，h″（t）=-4t-2＜0，
∴h′（t）在[1，2]递减，h′（t）_max=h′（1）=-$\frac{1}{2}$＜0，
∴h（t）在[1，2]递减，h（t）_max=h（1）=$\frac{3}{2}$
∴m的取值范围是{m|m≥$\frac{3}{2}$}．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的性质和应用，以及不等式恒成立问题，是中档题．