Question

已知动双曲线的右顶点在抛物线y²=x-1上，实轴长为定值4，右准线恰为y轴．
（Ⅰ）求动双曲线中心的轨迹方程；
（Ⅱ）求虚半轴长的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）：设双曲线的中心为（x，y），由于右准线为y轴，故x＜0．
∵实轴长为4，故a=2．
∴双曲线的右顶点为（x+2，y）．
由题意知点（x+2，y）在抛物线y²=x-1上，
∴y²=（x+2）-1=x+1．
∴双曲线中心的轨迹方程为y²=x+1（-1≤x＜0）．…（6分）
（Ⅱ）：设双曲线方程为

(x-x0)2

a2

-

(y-y0)2

b2

=1(a＞0，b＞0)．
∵a=2，故c=

a2+b2

．
由x-x0=

a2

c

，得右准线为x=x0+

a2

c

．
而右准线方程为x=0，
∴x0+

a2

c

=0．
∴x0=-

a2

c

=-

4

4+b2

．
由（Ⅰ）知

y

20

=x0+1，
故

y

20

=-

4

4+b2

+1≥0．
化简得b²≥12，故b≥2

3

．
∴虚半轴长的取值范围是[2

3

，+∞)．…（14分）