Question

如图，半圆O的直径AB长为4，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，sin∠EAB=

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．
（1）证明：平面BCDE⊥平面ACD．
（2）当∠CAB=45°，求二面角D-AE-B的余弦值？

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由圆的性质得BC⊥AC，由线面垂直得CD⊥BC，从而BC⊥平面ACD，由此能证明平面BCDE⊥平面ACD．
（Ⅱ）由sin∠EAB=

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，得EB=1，CD=EB=1，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CD为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面DAE的法向量和平面ABE的法向量，由此利用向量法能求出二面角D-AE-B的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）证明：因为半圆O的直径为AB，所以BC⊥AC，
因为CD⊥平面ABC，所以CD⊥BC，…（3分）
因为CD∩AC=C，所以BC⊥平面ACD，…（4分）
因为BC?平面BCDE，所以平面BCDE⊥平面ACD．…（6分）
（Ⅱ）解：因为sin∠EAB=

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，所以

EB

42+EB2

=

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，
解得EB=1，所以CD=EB=1，
因为∠CAB=45°，所以AC=BC=2

2

，
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CD为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，0，1），E(0，2

2

，1)，A(2

2

，0，0)，B(0，2

2

，0)，…（8分）
所以

AB

=(-2

2

，2

2

，0)，

BE

=(0，0，1)，

DE

=(0，2

2

，0)，

DA

=(2

2

，0，-1)，
设平面DAE的法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，
则由

n1 • DE =0 n1 • DA =0

，得

2 2 y1=0 2 2 x1-z1=0

，取x₁=1，得

n1

=(1，0，2

2

)，
设平面ABE的法向量为

n2

=(x2，y2，z2)，
则由

n2 • BE =0 n2 • AB =0

，得

z2=0 -2 2 x2+2 2 y2=0

，
取x₂=1，则

n2

=（1，1，0）…（10分）
则cos?

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

2

6

，
因为?

n1

，

n2

＞与二面角D-AE-B的平面角互补，
因此二面角D-AE-B的余弦值为-

2

6

．…（12分）

点评：本小题考查空间中直线与平面的位置关系、空间向量的应用等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．