题目内容

9．已知数列的前5项为1$\frac{1}{3}$，2$\frac{1}{9}$，3$\frac{1}{27}$，4$\frac{1}{81}$，5$\frac{1}{243}$．
（1）写出该数列的一个通项公式；
（2）求该数列的前n项和Sn．

分析 （1）由1$\frac{1}{3}$=1+$\frac{1}{3}$，2$\frac{1}{9}$=2+$（\frac{1}{3}）^{2}$，…5$\frac{1}{243}$=5+$（\frac{1}{3}）^{5}$．可得：该数列的通项公式为：an=n+$（\frac{1}{3}）^{n}$．
（2）利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出该数列的前n项和Sn．

解答 解：（1）∵1$\frac{1}{3}$=1+$\frac{1}{3}$，2$\frac{1}{9}$=2+$（\frac{1}{3}）^{2}$，3$\frac{1}{27}$=3+$（\frac{1}{3}）^{3}$，4$\frac{1}{81}$=4+$（\frac{1}{3}）^{4}$，5$\frac{1}{243}$=5+$（\frac{1}{3}）^{5}$．
可得：该数列的通项公式为：an=n+$（\frac{1}{3}）^{n}$．
（2）该数列的前n项和Sn=（1+2+…+n）+$[\frac{1}{3}+（\frac{1}{3}）^{2}+…+（\frac{1}{3}）^{n}]$
=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{\frac{1}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{1-\frac{1}{3}}$
=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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20．设在正项数列{an}中，a12+$\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{{a}_{3}}^{2}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{n}^{2}}$=4n-3，则数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前2n项和为$\frac{n}{4n+2}$．
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18．已知向量$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$）=0，|${\overrightarrow a}$|=|${\overrightarrow b}$|=1，且|${\overrightarrow c$-$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b}$|=1，则|${\overrightarrow c}$|的最大值为（　　）
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