题目内容

证明：函数f（x）=x+
4x
（x＞0）在区间（0，2）递减．
分析：设两个数x1、x2∈（0，2），且x1＜x2，将f（x1）与f（x2）作差变形整理，再讨论得f（x1）＞f（x2），由此即可得到f（x）=x+
4
x
在区间（0，2）上为减函数．
解答：证明：设x1、x2是区间，（0，2）上的任意两个数，且x1＜x2，
∴f（x1）-f（x2）=（x1+
1
x1
）-（x2+
1
x2
）=（x1-x2）（1-
1
x1x2
）=
(x1-x2)(x1x2-4)
x1x2

∵x1＜x2，x1、x2∈（0，2）
∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜4，可得
(x1-x2)(x1x2-4)
x1x2
＞0
由此可得f（x1）＞f（x2）
∴函数f（x）=x+
4
x
（x＞0）在区间（0，2）上为减函数．
点评：本题通过证明一个函数在给定区间上为减函数，考查了用定义证明函数单调性的知识，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=（x-a）2，g（x）=x，x∈R，a为实常数．
（1）若a＞0，设F(x)=
f(x)g(x)
，x≠0，用函数单调性的定义证明：函数F（x）在区间[a，+∞）上是增函数；
（2）设关于x的方程f（x）=|g（x）|在R上恰好有三个不相等的实数解，求a的值所组成的集合．
探究函数f（x）=x+
4
x
，x∈（0，+∞）的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 4.8 7.57 …
请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
（1）函数f（x）=x+
4
x
（x＞0）在区间
（0，2）
（0，2）
上递减；并利用单调性定义证明．函数f（x）=x+
4
x
（x＞0）在区间
（2，+∞）
（2，+∞）
上递增．当x=
2
2
时，y最小=
4
4
．
（2）函数f（x）=x+
4
x
（x＜0）时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）
（2011•安徽模拟）定义：对于函数f（x），x∈M⊆R，若f（x）＜f'（x）对定义域内的x恒成立，则称函数f（x）为?函数．
（Ⅰ）证明：函数f（x）=ex1nx为?函数．
（Ⅱ）对于定义域为（0，+∞）的?函数f（x），求证：对于定义域内的任意正数x1，x2，…，xn，均在f（1n（x1+x2+…+xn））＞f（1nx1）+f（1nx2）．+…+f（1nxn）
证明：函数f（x）=lnx+2x-6在区间（2，3）内有唯一的零点．
已知a∈R，函数f(x)=
1-
1
x
，x＞0
(a-1)x+1，x≤0

（1）证明：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）求函数f（x）的零点．

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