Question

9．如图，F₁，F₂为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1 （a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，△DEF₂的面积为1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．若M（x₀，y₀）在椭圆C上，则点N（$\frac{{x}_{0}}{a}$，$\frac{{y}_{0}}{b}$）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知OP⊥OQ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）△AOB的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的离心率以及三角形的面积求出椭圆的几何量，即可得到椭圆方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$P（\frac{x_1}{2}，{y_1}），Q（\frac{x_2}{2}，{y_1}）$，由OP⊥OQ，即$\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}+{y_1}{y_2}=0$． （*）
①当直线AB的斜率不存在时，$S=\frac{1}{2}|{x_1}|×|{y_1}-{y_2}|=1$．②当直线AB的斜率存在时，设其直线为y=kx+m（m≠0）．联立直线与椭圆方程，通过韦达定理弦长公式，求解三角形的面积即可．

解答 （本题满分12分）
解：（1）椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，△DEF₂的面积为1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}（a-c）b$=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，解得a=2，b=1．
所求椭圆方程为：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$P（\frac{x_1}{2}，{y_1}），Q（\frac{x_2}{2}，{y_1}）$．
由OP⊥OQ，即$\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}+{y_1}{y_2}=0$． （*）
①当直线AB的斜率不存在时，$S=\frac{1}{2}|{x_1}|×|{y_1}-{y_2}|=1$．
②当直线AB的斜率存在时，设其直线为y=kx+m（m≠0）．$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+4{y^2}=4\end{array}\right.$，
（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，△=16（4k²+1-m²），${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{4{k^2}+1}}$，
同理${y_1}{y_2}=\frac{{{m^2}-4{k^2}}}{{4{k^2}+1}}$，代入（*），整理得4k²+1=2m²． 
 此时△=16m²＞0，$AB=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\frac{{2\sqrt{1+{k^2}}}}{|m|}$，$h=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，∴S=1
综上，△ABO的面积为1．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查分类讨论与转化思想的应用．