Question

18．已知函数$f（x）=2sin（{ωx+φ}）（{ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$的两条相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，把f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数g（x）的图象，且g（x）为偶函数，则f（x）的单调递增区间为（　　）

• A． $[{2kπ+\frac{π}{3}，2kπ+\frac{4π}{3}}]，k∈z$
• B． $[{kπ+\frac{π}{3}，kπ+\frac{4π}{3}}]，k∈z$
• C． $[{2kπ-\frac{π}{6}，2kπ+\frac{π}{3}}]，k∈z$
• D． $[{kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}}]，k∈z$

Answer 1

分析 根据条件求出函数的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可．

解答 解：∵函数f（x）的两条相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，即周期T=$π=\frac{2π}{ω}$，则ω=2，
此时f（x）=2sin（2x+φ），
把f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数g（x）的图象，
则g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+φ]=2sin（2x+φ-$\frac{π}{3}$），
∵g（x）为偶函数，
∴φ-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，
则φ=$\frac{5π}{6}$+kπ，k∈Z，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴当k=-1时，φ=$\frac{5π}{6}$-π=-$\frac{π}{6}$，
则f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得2kπ-$\frac{π}{3}$≤2x≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，
即kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
即函数的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，
故选：C．

点评 本题主要考查三角函数解析式以及三角函数单调性的求解，根据条件求出ω 和φ的值是解决本题的关键．