Question

6．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是棱BC、CC₁的中点．
（ 1 ）求证：MN∥面AB₁D₁；
（文科）（2）若正方体边长为2，求三棱锥${\;}_{{A}_{1}-{B}_{1}A{D}_{1}}$的体积．
（理科）（2）求二面角D-MN-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出MN∥AD₁，由此能证明MN∥面AB₁D₁．
（文）（2）三棱锥A₁-B₁AD₁的体积V${\;}_{{A}_{1}-{B}_{1}A{D}_{1}}$=${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$，由此能求出结果．
（理）（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-MN-C的余弦值．

解答 证明：（1）∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是棱BC、CC₁的中点，
∴MN∥BC₁，∵BC₁∥AD₁，∴MN∥AD₁，
∵MN?面AB₁D₁，AD₁?面AB₁D₁，
∴MN∥面AB₁D₁．
解：（文）（2）∵正方体边长为2，
三棱锥A₁-B₁AD₁的体积：
V${\;}_{{A}_{1}-{B}_{1}A{D}_{1}}$=${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}×A{A}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$．
（理）（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
D（0，0，0），M（1，2，0），N（0，2，1），C（0，2，0），
$\overrightarrow{DM}$=（1，2，0），$\overrightarrow{DN}$=（0，2，1），
设平面DMN的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}=x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DN}=2y+z=0}\end{array}\right.$，取y=-1，得$\overrightarrow{n}$=（2，-1，2），
平面MNC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
设二面角D-MN-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{3}$，
∴二面角D-MN-C的余弦值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥体积的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．