记方程①x2+a1x+1=0.②x2+a2x+1=0.③x2+a3x+1=0.其中a1.a2.a3是正实数.当a1.a2.a3成等比数列.下列选项中.正确的是( )A．若方程②③都有实根则方程①无实根B．若方程②③都有实根则方程①有实根C．若方程②无实根但方程③有实根时.则方程①无实根D．若方程②无实根但方程③有实根时.则� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．记方程①x²+a₁x+1=0，②x²+a₂x+1=0，③x²+a₃x+1=0，其中a₁，a₂，a₃是正实数，当a₁，a₂，a₃成等比数列，下列选项中，正确的是（　　）

	A．	若方程②③都有实根则方程①无实根
	B．	若方程②③都有实根则方程①有实根
	C．	若方程②无实根但方程③有实根时，则方程①无实根
	D．	若方程②无实根但方程③有实根时，则方程①有实根

分析由已知条件利用等比数列的性质和一元二次方程的根的判别式求解．

解答解：由方程①x²+a₁x+1=0，②x²+a₂x+1=0，③x²+a₃x+1=0，
其中a₁，a₂，a₃是正实数，a₁，a₂，a₃成等比数列，知：
在A中，若方程②③都有实根，则$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{2}}^{2}≥4}\\{{{a}_{3}}^{2}≥4}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}≥2}\\{{a}_{3}≥2}\\{{{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}}\end{array}\right.$，
∴${a}_{1}=\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{a}_{3}}$有可能不小于2，∴方程①有可能有实根，故A错误；
在B中，若方程②③都有实根，则$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{2}}^{2}≥4}\\{{{a}_{3}}^{2}≥4}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}≥2}\\{{a}_{3}≥2}\\{{{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}}\end{array}\right.$，
∴${a}_{1}=\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{a}_{3}}$有可能小于2，∴方程①可能无实根，故B错误；
在C中，若方程②无实根但方程③有实根，则$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{2}}^{2}＜4}\\{{{a}_{3}}^{2}＞4}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}＜2}\\{{a}_{3}＞2}\\{{{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}}\end{array}\right.$，
∴${a}_{1}=\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{a}_{3}}$＜2，∴方程①无实根，故C正确；
在D中，若方程②无实根但方程③有实根，则$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{2}}^{2}＜4}\\{{{a}_{3}}^{2}＞4}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}＜2}\\{{a}_{3}＞2}\\{{{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}}\end{array}\right.$，
∴${a}_{1}=\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{a}_{3}}$＜2，∴方程①无实根，故D错误．
故选：D．