Question

16．一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M，N，P分别是AB，SC，SD的中点．
（1）求证：AP∥平面SMC；
（2）求三棱锥BNMC的体积．

Answer 1

分析 （1）连接PN，证明四边形AMNP为平行四边形，推出AP∥MN．即可证明AP∥平面SMC．
（2）由三视图可知顶点S到底面ABCD的距离为2，点N到底面ABCD的距离为h=1，利用等体积通过V_BNMC=V_NMBC=$\frac{1}{3}$S_△MBC•h求解即可．

解答 解：（1）由三视图可知底面ABCD为正方形，连接PN，
∵P，N分别是SD，SC的中点，
∴PN∥DC且PN=$\frac{1}{2}$DC．
∵底面ABCD为正方形，M为AB的中点，
∴AM∥DC且AM=$\frac{1}{2}$DC，
∴AM∥PN且AM=PN，
∴四边形AMNP为平行四边形，∴AP∥MN．
又AP?平面SMC，MN?平面SMC，∴AP∥平面SMC．
（2）由三视图可知顶点S到底面ABCD的距离为2，
∴点N到底面ABCD的距离为h=1，
根据三棱锥的体积公式可以求得：
V_BNMC=V_NMBC=$\frac{1}{3}$S_△MBC•h=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{12}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及空间想象能力计算能力．