Question

1．已知{a_n}是等差数列，其中a₁=25，a₄=16，
（1）求{a_n}的通项；
（2）数列{a_n}从哪一项开始小于0；
（3）求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|值．

Answer 1

分析 （1）由a₄=a₁+3d，a₁=25，求得d，根据等差数列的通项公式即可求得{a_n}的通项；
（2）由28-3n＜0，解得n＞9$\frac{1}{3}$，则数列{a_n}从10项开始小于0；
（3）由题意可知：当n≤9时，S_n=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{n}）n}{2}$=$\frac{-3{n}^{2}+53n}{2}$，当n≥10时，S_n=2S₉-$\frac{-3{n}^{2}+53n}{2}$，即可求得|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|值．

解答 解：（1）∵a₄=a₁+3d，
∴d=-3，
a_n=25+（-3）（n-1）=28-3n，
等差数列的通项公式a_n=28-3n，…（4分）
（2）∵28-3n＜0，
∴n＞9$\frac{1}{3}$，
∴数列{a_n}从10项开始小于0；
（3）设S_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|，
当n≤9时，S_n=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{n}）n}{2}$=$\frac{-3{n}^{2}+53n}{2}$，
由n=9时，S₉=117，
当n≥10时，
S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀…+a_n，①
|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉-a₁₀…+a_n，②
由①+②得|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=2S₉-S_n=2S₉-$\frac{-3{n}^{2}+53n}{2}$=$\frac{3{n}^{2}-53n+468}{2}$，
∴|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{-3{n^2}+53n}}{2}\;（n≤9）}\\{\frac{{3{n^2}-53n+468}}{2}\;（n＞9）}\end{array}}$．

点评 本题考查等差数列的性质，考查等差数列的性质，考查含有绝对值的数列的前n项和的求法，考查计算能力，属于中档题．