Question

15．（实验班）已知数列{a_n}满足a₁=2，对于任意的n∈N⁺都有a_n＞0，且（n+1）a_n²+a_na_n+1-na_n+1²=0，
（1）求数列{a_n}的通项a_n以及它的前n项和S_n；
（2）令c_n=$\frac{4}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$，求{c_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过对等式（n+1）a_n²+a_na_n+1-na_n+1²=0因式分解，可知（a_n+a_n+1）[（n+1）a_n-na_n+1]=0，进而（n+1）a_n-na_n+1=0，变形可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，利用数列的恒等式和等差数列的求和公式即可得到；
（2）求得c_n=$\frac{4}{2（2n-1）•2（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）∵（n+1）a_n²+a_na_n+1-na_n+1²=0，
∴（a_n+a_n+1）[（n+1）a_n-na_n+1]=0，
又∵a_n＞0，即a_n+a_n+1＞0，
∴（n+1）a_n-na_n+1=0，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，
∴a_n=a₁•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$…$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2•$\frac{2}{1}$•$\frac{3}{2}$…$\frac{n}{n-1}$=2n，
∴通项公式a_n=2n；S_n=$\frac{1}{2}$（2+2n）n=n²+n；
（2）c_n=$\frac{4}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$=$\frac{4}{2（2n-1）•2（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
即有前n项和T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用数列恒等式和等差数列的求和公式，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和，属于中档题．