题目内容
设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明数列{cn}不是等比数列.
证法一:否定一个结论举一特例即可,即只需说明
≠
,即c22≠c1·c3.
设an=a1pn－1,bn=b1qn－1,且p≠q,则c22=(a1p+b1q)2=a12p2+
c1·c2=(a1+b1)(a1p2+b1q2)=a12p2+a1b1q2+a1b1p2+b12q2,
c22－c1·c3=a1b1(2pq－p2－q2)=－a1b1(p－q)2.
∵a1≠0,b1≠0,p≠q,∴c22－c
故{cn}不是等比数列.
证法二:反证法.
假设数列{cn}是等比数列,则存在常数k(不等于零),使得
=k(n∈N*),
即cn+1=kcn.
设an=a1pn－1,bn=b1qn－1且p≠q,
代入上式中整理得a1pn+b1qn=
·pn+
·qn.
∵上式对任意n∈N*成立,
∴必须
考虑到a1≠0,b1≠0,
解得p=q=k.这与已知公比p≠q矛盾,故数列{cn}不是等比数列.
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