Question

14．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞，0]上单调递减，且f（-4）=0，则使得x|f（x）+f（-x）|＜0的x的取值范围是{x|0＜x＜04或x＜-4}．

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性、单调性画出函数f（x）的示意图，将不等式等价转化，由图象求出不等式解集．

解答 解：∵f（x）在（-∞，0]上为减函数，且f（x）为R上的偶函数，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，
又f（4）=0，∴f（-4）=f（4）=0，
画出f（x）的示意图如图所示：
∵f（x）为R上的偶函数，
∴x|f（x）+f（-x）|＜0等价于2x|f（x）|＜0，
由图可得，不等式的解集是{x|x＜0且x≠-4}，
故答案为：{x|0＜x＜04或x＜-4}．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，不等式的等价转化，考查数形结合思想．