Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2a_n=S_n+2．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：n≥5（n∈N^*）时，不等式a_n＞n²．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．
（II）法一：利用数学归纳法证明；
法二：利用二项式定理展开证明即可得出．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，由2a₁=S₁+2=a₁+2，得a₁=2．
当n≥2时，由$\left\{\begin{array}{l}2{a_n}={S_n}+2\\ 2{a_{n-1}}={S_{n-1}}+2\end{array}\right.$，
得$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=2$，
∴数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
故${a_n}={2^n}$．
（Ⅱ）法一：（i）当n=5时，2⁵＞5²，不等式成立；
（ii）假设n=k（k≥5）时，不等式成立，即2^k＞k²，
当n=k+1时，则2^k+1＞2k²，
而当k≥5时，2k²-（k+1）²=（k-1）²-2＞0，
故2^k+1＞（k+1）²，∴当n=k+1时，不等式成立；
综上，对于n≥5的一切正整数，不等式均成立．
法二：$n≥5，{2^n}=C_n^0+C_n^1+C_n^2+…+C_n^{n-2}+C_n^{n-1}+C_n^0$≥2$（{∁}_{n}^{0}+{∁}_{n}^{1}+{∁}_{n}^{2}）$=n²+2n+2＞n²．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、数学归纳法、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．