Question

13．已知等比数列{a_n}的前n项为和S_n，且a₃-3a₂=0，S₂=12，数列{b_n}中，b₁=1，b_n+1-b_n=2．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；
（2）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前N项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式和前n项和公式求得a_n，由等差数列的定义和通项公式得到b_n；
（2）利用错位相减法求得数列{c_n}的前N项和T_n．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₃-3a₂=0，S₂=12，
∴a₁q²-3a₁q=0，a₁+a₁q=12，
解得q=3，a₁=3，
∴数列{a_n}是等比数列，
∴a_n=3ⁿ．           
∵b_n+1-b_n=2，即数列{b_n}是以2为公差的等差数列，
又b₁=1，
∴b_n=2n-1；
（2）∵c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3ⁿ
∵T_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-3）3^n-1+（2n-1）3ⁿ，
∴3T_n=1×3²+3×3³+5×3⁴+…+（2n-3）3ⁿ+（2n-1）3ⁿ⁺¹，
两式相减得：-2T_n=3+2×（3²+3³+3⁴+…+3ⁿ）-（2n-1）3ⁿ⁺¹
=-6-2（n-1）3ⁿ⁺¹，
∴T_n=3+（n-1）3ⁿ⁺¹．

点评 本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用错位相减求和法是解决本题的关键．