Question

6．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，已知函数f（x）=2+asinx-cos²x．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的值域，并判断对任意x∈R函数f（x）是否为有界函数，请说明理由；
（2）若对任意x∈R函数f（x）是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）代入函数的表达式，得出函数的单调区间，结合有界函数的定义进行判断，
（2）由题意知，|f（x）|≤4对x∈[0，+∞）恒成立．令t=sinx，对t∈[-1，1]恒成立，求出单调区间，得到函数的最值，从而求出a的值．

解答 解：（1）令t=sinx，t∈[-1，1]，g（t）=t²-2t+1⇒g（t）∈[0，4]，所以y=f（x）得值域为[0，4]
所以存在M=4使得|f（x）|≤4，则y=f（x）为有界函数．
（2令t=sinx，t∈[-1，1]，k（t）=t²+at+1）若y=f（x）为以4为上界函数，则
必有$\left\{\begin{array}{l}|{k（1）}|≤4\\|{k（-1）}|≤4\end{array}\right.可得-2≤a≤2$，此时函数k（t）=t²+at+1的对称轴$t=\frac{-a}{2}∈[{-1，1}]$，
当-2≤a≤2时$|{k（-\frac{a}{2}）}|=|{\frac{a^2}{4}-1}|≤1＜4$，
因此若对任意x∈R函数f（x）是以4为上界的有界函数，实数a的取值范围为{a|-2≤a≤2}．

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，利用函数的单调性求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题