Question

13．正项等比数列{a_n}满足：a₄+a₃=a₂+a₁+8，则a₆+a₅的最小值是（　　）

• A． 64
• B． 32
• C． 16
• D． 8

Answer 1

分析 由已知求出q²=1+$\frac{8}{{a}_{1}q{+a}_{1}}$，a₆+a₅=${a}_{1}{q}^{5}+{a}_{1}{q}^{4}$=（a₁q+a₁）+$\frac{64}{{a}_{1}q+{a}_{1}}$+16，由此利用基本不等式的性质能求出结果．

解答 解：∵{a_n}是正项等比数列，
∴a₁＞0，q＞0，
∵a₄+a₃=a₂+a₁+8，
∴${a}_{1}{q}^{3}+{a}_{1}{q}^{2}={a}_{1}q+{a}_{1}+8$，
∴q²=1+$\frac{8}{{a}_{1}q{+a}_{1}}$，
∴a₆+a₅=${a}_{1}{q}^{5}+{a}_{1}{q}^{4}$=q²（a₁q+a₁+8）
=（1+$\frac{8}{{a}_{1}q+q}$）[（a₁q+a₁）+8]
=（a₁q+a₁）+$\frac{64}{{a}_{1}q+{a}_{1}}$+16
≥2$\sqrt{（{a}_{1}q+{a}_{1}）×\frac{64}{{a}_{1}q+{a}_{1}}}$+16=32，
当且仅当${a}_{1}q+{a}_{1}=\frac{64}{{a}_{1}q+{a}_{1}}$时，取等号．
∴a₆+a₅的最小值是32．
故选：B．

点评 本题考查等比数列中两项和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质及基本不等式性质的合理运用．