Question

19．若0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，且cos β=-$\frac{1}{3}$，sin（α+β）=$\frac{1}{3}$，则cos α=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．

Answer 1

分析 由条件，运用同角平方关系可得sinβ，cos（α+β），再由cosα=cos[（α+β）-β]，运用两角差余弦公式，计算即可．

解答 解：0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，cos β=-$\frac{1}{3}$，
可得sinβ=$\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=$\sqrt{1-\frac{1}{9}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
sin（α+β）=$\frac{1}{3}$，且$\frac{π}{2}$＜α+β＜$\frac{3π}{2}$，
可得cos（α+β）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+β）}$
=-$\sqrt{1-\frac{1}{9}}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
则cosα=cos[（α+β）-β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ
=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×（-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{3}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．

点评 本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式的应用，注意运用角的变换，考查运算能力，属于中档题．