Question

15．如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB，M、N分别是PC、PD的中点，则异面直线BM与CN所成的角大小为（　　）

• A． $\frac{π}{2}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． arccos$\frac{\sqrt{2}}{3}$
• D． π-arccos$\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BM与CN所成的角的大小．

解答 解：∵四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
设PA=AB=2，则B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），
M（1，1，1），D（0，2，0），N（0，1，1），
$\overrightarrow{BM}$=（-1，1，1），$\overrightarrow{CN}$=（-2，-1，1），
设异面直线BM与CN所成的角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{CN}|}{|\overrightarrow{BN}|•|\overrightarrow{CN}|}$=$\frac{2}{\sqrt{3}×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴θ=arccos$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴异面直线BM与CN所成的角的大小为arccos$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．