Question

14．给出下列四个命题：
（1）函数f（x）=log_a（2x-1）-1的图象过定点（1，0）；
（2）化简2${\;}^{{{log}_{\sqrt{2}}}5}}$+lg5lg2+（lg2）²-lg2的结果为25；
（3）若log_a$\frac{1}{2}$＜1，则a的取值范围是（1，+∞）；
（4）若2^-x-2^y＞lnx-ln（-y）（x＞0，y＜0），则x+y＜0．
其中所有正确命题的序号是（2）（4）．

Answer 1

分析 结合对数函数的图象和性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．

解答 解：（1）函数f（x）=log_a（2x-1）-1的图象过定点（1，-1），故（1）错误；
（2）2${\;}^{{{log}_{\sqrt{2}}}5}}$+lg5lg2+（lg2）²-lg2=25+lg2（lg5+lg2）-lg2=25+lg2-lg2=25，故（2）正确；
（3）若log_a$\frac{1}{2}$＜1，则a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞），故（3）错误；
（4）构造函数F（t）=2^-t-lnt，t∈（0，+∞），
显然，F（t）为定义域上的减函数，
因为x＞0，y＜0，所以，-y＞0，
故F（x）=2^-x-lnx，F（-y）=2^y-ln（-y），
由①式得，F（x）＞F（-y），
且F（t）为定义域上的减函数，
因此，x＜-y，
即x+y＜0，故（4）正确；
故答案为：（2）（4）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了指数运算对数运算，对数函数的图象和性质等知识点，难度中档．