Question

14．在边长为10的等边三角形ABC中，两个内接正方形有一边重叠，都有边落在BC上，正方形甲有一个顶点在AB上，正方形乙有一顶点在AC上，求这两个内接正方形面积和的最小值．

Answer 1

分析 设正方形甲、乙的边长分别为x、y．可得x+y+$\frac{x}{\sqrt{3}}$+$\frac{y}{\sqrt{3}}$=10，利用x²+y²≥$\frac{1}{2}（x+y）^{2}$即可得出．

解答 解：设正方形甲、乙的边长分别为x、y．
则x+y+$\frac{x}{\sqrt{3}}$+$\frac{y}{\sqrt{3}}$=10，可得x+y=5（3-$\sqrt{3}$）．
∴x²+y²≥$\frac{1}{2}（x+y）^{2}$=75（2-$\sqrt{3}$），当且仅当x=y=$\frac{5（3-\sqrt{3}）}{2}$时取等号．
因此这两个内接正方形面积和的最小值是75（2-$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了基本不等式的性质、等边三角形与正方形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．